Pengertian Irasional – Sejarah, Nilai, Tindakan, Menentukan, Sifat, Contoh

Diposting pada

Pengertian Irasional – Sejarah, Nilai, Tindakan, Menentukan, Sifat, Contoh : Adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti).


Pengertian Irasional

Pengertian Irasional

Kata Irasional berasal dari bahasa Latin yaitu “ir”, dari bentuk yang diasimilasikan dari in atau tidak serta rasionalis “akal budi”. Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Irasional bisa kita artikan dalam tujuh pengertian yaitu:


Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : Pengertian Akal Menurut Para Ahli Secara Lengkap


  1. Irasional merupakan sesuatu yang kurang atau berlawanannya terasa asing dalam hal yang rohani, teristimewa sebagai kegiatan berfikir yang secara konseptual. Sebuah hal yang asing sebagai hal yang rohani serta sebagai kegiatan berfikir seringkali disebut alogik.
  2. Irasional merupakan tidak memiliki landasan dari penjelasan yang rasional atau realistis.
  3. Irasional merupakan tidak daya rasional atau tidak dikarunia rasio.
  4. Irasional merupakan tidak bisa ditangkap oleh rasio, dan tidak bisa diungkapkan dalam sebuah konsep yang logis.

  5. Irasional merupakan tidak selaras atau berlawanan dengan rasio. Hal yang tidak berarti apapun dan bukan-bukan.
  6. Irasional merupakan kedaan yang kacau dan tidak bisa diungkapkan sebagai tata atau susunan yang dapat dipahami.
  7. Irasional merupakan tidak menjalankan suatu putusan yang rasional atau tidak memakai rasio.

Sejarah Blangan Irrasional

Menurut sejarah, penemu bilangan irasional adalah Hippasus dari Metapontum (ca. 500 SM). Sayangnya, penemuannya tersebut justru menyebabkan ia dihukum mati oleh Pythagoras karena dianggap penganut ajaran sesat.


Dalam doctorate in Absentia-nya di tahun 1799, A new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree, Gauss memberikan bukti teorema fundamental aljabar yang menyatakan bahwa setiap-tiap dari polinomial variabel tunggal bukan-konstanta dengan koefisien kompleks memiliki paling sedikit atau setidaknya satu akar kompleks. Namun banyak matematikawan termasuk Jean le Rond d’Alembert yang memberikan bukti yang salah pada awalnya,dan disertasi Gauss juga banyak mengkritik kerja d’Alembert.


Namun sekali lagi, ironisnya, dengan menggunakan standar sekarang percobaan milik Gauss tidak dapat diterima, yang menyebabkan penggunaan secara implisit teorema Kurva Jordan di dalam kurva fraktal. Bagaimanapun, dia secara berkelanjutan memberikan tiga bukti yang lain,yang terakhir pada 1849 yang dikenal sukar.


Upayanya dalam mengklarifikasi konsep mengenai bilangan kompleks memang banyak dibicarakan (dari contoh bilangan irasional paling terkenal :,memecahnya dengan menempatkan minus pada satu tingkat dibawah sumbu imajiner dan x pada sumbu positif real,Gauss mengubah bilangan irasional yang sebelumnya dianggap bilangan antara ada dan tiada menjadi dapat diperhitungkan, lihat secara khusus polar kompleks).


Gauss juga memberikan kontribusi sangat penting bagi teori bilangan. Di dalam bukunya di tahun 1801, Disquisitiones Arithmeticae (bahasa Latin:, Investigasi Aritmetika), yang mana, dalam banyak hal, Gauss memperkenalkan penggunaan notasi ≡ untuk kekongruenan dan menggunakannya dalam presentasi yang baik di dalam aritmetika modular.


Abad ke-19 menyaksikan perkembangan cepat konsep bilangan imajiner di tangan Abraham de Moivre,dan secara khusus Leonhard Euler, yang menjadikannya lebih berdaya guna. Penyelesaian teori mengenai bilangan kompleks di abad ke-19 membedakan bilangan irasional menjadi bilangan aljabar dan transenden. Bukti keberadaan bilangan transenden, dan menjamurnya studi-studi saintifik mengenai teori bilangan irasional telah lama dipikirkan sejak Euclid.


Tahun 1872 menyaksikan publikasi dari teori-teori dari Karl Weierstrass (oleh muridnya, Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle’s Journal, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind. Meray memulai pada 1869,sama dengan Heine, tetapi teorinya dikutip secara umum pada 1872.


Pecahan kontinyu, yang berhubungan dekat dengan bilangan irasional, mendapat perhatian di tangan Euler, dan akhirnya,fajar abad ke-19 benar-benar dibawa menuju keagungan lewat tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange. Dirichlet juga menambahkan dalam teori umumnya, seperti juga banyak sekali kontributor untuk penerapan mengenai subyek ini.


Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : 13 Pengertian Analisis Menurut Para Ahli Didunia


Nilai Pendekatan Bilangan Irasional Akar

Untuk mendapatkan atau menunjukkan nilai bilangan irasional, digunakan suatu cara yang disebut metode rat-rata sehingga menghasilkan nilai pendekatan. Langkah-langakah yang perlu dilakukan untuk mencari nilai pendekatan bilangan irasional dengan bentuk akar adalah sebagai berikut:


  • Menentukan hampiran dari nilai pendekatan, biasanya dipilih yang nilainya lebih kecil dari nilai bilangannya.
  • Mencari hasil bagi bilangan yang di akar dengan bilangan hampiran, dengan angka desimal sesuai dengan keingginan.
  • Mencari nilai rata-rata bilangan hampiran dengan bilangan hasil bagi, sebutlah dengan bilangan pendekatan pertama.
  • Mengulang langkah b dan langkah c untuk memperoleh nilai pendekatan yang lebih baik.

Contoh:

  • Mencari nilai pendekatan

Penyelsaian:

(1,4)2 = 1,96 maka 1,4 dapat dipilih sebagai nilai hampiran. Kemudian, 2 (bilangan yang diakar), di bagi dengan 1,4:

2 : 1,4 = 1,4268


Selanjutnya mencari nilai rata-rata:

 = 1, 4143

Nilai pendekatan pertama  adalah 1, 4143

Untuk mendapatkan nilai pendekatan yang lebih baik, gunakan 1, 4143 sebagai nilai hampiran 2 : 1, 4141

 = 1, 4142

Jadi, 1, 4142 adalah nilai pendekatan  sampai dengan 3 tempat desimal.


  • Mencari nilai pendekatan

(1,7)2 = 2,89 maka 1,7 dapat dipilih sebagai nilai hampiran. Kemudian, 3 (bilangan yang diakar) dibagi dengan 1,7 :

    3:1,7 = 1,7647


Selanjutnya mencari nilai rata-rata :

 = 1,73235

1,73235 dipilih sebagai nilai hampiran baru


3 : 1,73235 = 2, 73175

 = 1, 73205

Nilai pendekatan  adalah 1,73205

Sebagai pengecekan atau pemeriksaan ulang, kuadratkan 1,73205

(1,73205)2 = (1,73205) . (1,73205) = 2, 9999972025

Yang mana diperoleh hasil penguadratan yang “sangat dekat” atau “hampir sama” dengan 3.


Contoh bilangan irasional dalam matematika

Tindakan Ekonomi Irasional

Tindakan ekonomi irasional merupakan tindakan seorang manusia dimana menurut suatu perkiraan akan lebih baik atau menguntungkan namun kenyataannya justru sebaliknya “merugikan”.


Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : 5 Pengertian dan Karakteristik Profesi Menurut Para Ahli


  • Conotoh

Dari tindakan irasional : Antonius pergi bermain dengan mengendarai sepeda motor padahal jarak yang ingin dia tuju hanya 2km dengan beralasan akan lebih cepat  dan praktis serta biayanya murah dibandingkan dengan mengendarai sepeda. Padahal jika diperhitungkan dengan ongkos yang dipakai akan lebih boros mengendarai sepeda motor.


Bilangan Irasional

Dalam matematika, sebuah bilangan irasional merupakan bilangan riil yang tidak dapat dibagi (hasil dari bagainya tidak pernah berhenti). Hal tersebut, bilangan irasional tidak dapat dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan yang bult dan b tidak sama dengan nol. maka bilangan irasional bukan bilangan rasional.


Menentukan Nilai Aproksimasi Akar Pangkat Dua Suatu Bilangan

Menarik akar pangkat dua suatu bilangan rasional n, akan menghasilakan suatu bilangan rasional, apabila bilangan itu merupakan suatu kuadrat bilangan rasional. Apabila n bukan kuadrat dari suatu bilangna rasional, maka haslnya adalah suatu bilangan irrasional.


Menentukan nilai aproksimasi akar pangkat dua dari bilangan yang bukan merupakan kuadrat pangkat dua bilangan rasional, dapat dilakukan dengan 3 cara;


  • Cara pertama

Cara ini dilakukan seperti mencari akar suatu bilangan dengan cara biasa.


  • Cara kedua

Misalkan kita ingin mencari nilai aproksimasi dari

3  terletak antara 1² dan 2² atau 1 < 3 < 4, jadi 1<  < 4. Selanjutnya:

(1,7)²= 2,69<3<3,24=(1,8)², jadi 1,7<  < 1,8

(1,73)²= 2,9929<3<3,0276=(1,74)², jadi 1,73<  < 1,74

(1,732)²= 2,99824<3<3,003289=(1,733)², jadi 1,732<  < 1,733

(1,73205)²= 2,9999972<3<3,001704=(1,7321)², jadi 1,73205<  < 1,7321

Dengan melakukan cara ini terus menrus, maka akan diperoleh nilai aproksimasi ang mendekati


  • Cara ketiga

  1. Tentukan suau bilangan yang kuadratnya mendekati bilangan yang ingin dicari nilai aproksimasinya. Tidak penting, apakah bilangan itu lebih besar atau lebih kecil
  2. Bagilah bilangan yang ingin dicari akarnya itu dengan bilangan yang dipilih tadi
  3. Jumlahkan hasilnya dengan bilangan-bilangan yang dipilih tadi, lalu dibagi dua
  4. Hasil dari 3 adalah merupakan nilai aproksimasi yang mendekati harga yang ingin dicari tadi

Cara metode ini disebut dengan metode rata-rata.


Sifat Bilangan Rasional

Terdapat beberapa sifat khusus di dalam operasi bilangan, yaitu:


Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : 10 Pengertian Kreativitas Dan Inovasi Beserta Contohnya


1. Sifat Pertukaran (Komutatif)

Suatu operasi * pada suatu himpunan disebut komutatif jika:
a * b = b * a, untuk semua a dan b anggota himpunan A.
Perkalian dan penjumlahan bersifat komutatif, sebab:
a x b = b x a dan a + b = b + a
sedangkan pengurangan dan pembagian tidak bersifat komutatif, sebab:
a : b C b : a dan a – b C b – a


2. Sifat Pengelompokan (Asosiatif)

Suatu operasi * pada suatu himpunan A disebut asosiatif jika:
(a * b) * c = a * (b * c) untuk a, b, dan c kesemuanya merupakan anggota himpunan A.
Perkalian dan penjumlahan bersifat asosiatif, sebab:
(a x b) x c = a x (b x c) dan (a + b) + c = a + (b + c)
sedangkan pengurangan dan pembagian tidak bersifat asosiatif, sebab:
(a : b) : c C a : (b : c) dan (a – b) – c C a – (b – c)


3. Unsur Identitas

Suatu unsur i dalam suatu himpunan A merupakan unsur identitas operasi * pada
himpunan A tersebut, jika berlaku:
i * a = a * i = a untuk setiap a anggota A


4. Unsur Invers

Diketahui suatu himpunan A dan unsur i ϵ A sebagai unsur identitas operasi * pada
himpunan A.
Suatu unsur b ϵ A disebut unsur invers dari unsur a ϵ A pada operasi * pada himpunan
A jika berlaku:

a * b = b * a = i


5. Sifat Penghapusan (Kanselasi)

Diketahui A adalah sebuah himpunan dan * merupakan operasi pada A tersebut. Sifat
kanselasi pada himpunan A berlaku jika:
a * c = b * c maka a = b


Baca Juga Artikel Yang Mungkin Berhubungan : BPUPKI : Pengertian, Anggota, Tugas, Sidang, Dan Tujuan Beserta Sejarahnya Lengkap